Proposições e tabelas de verdade

Proposições e tabelas de verdade

  • 06 de Agosto de 2018
  • Matemática
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Proposição é uma expressão (ou uma afirmação) que emite um juízo, ou seja, sobre ela é possível dizer se é verdadeira ou falsa. Uma proposição nunca é verdadeira e falsa simultaneamente.

Exemplo:

  • 1000 x 0 = 1000

  • Maputo é a capital de Moçambique

Nos exemplos acima pode-se emitir um juízo portanto trata-se de proposições.

Uma proposição pode ser afirmativa ou negativa.

Exemplo:

  • 12 é menor que 15

  • 15 não é maior que 12

Exemplos de expressões que não são proposições

  1. 2+4

  2. Maputo

  3. Que belo dia!

  4. Onde fica Maputo?

As expressões acima não são consideradas proposições pelos seguintes motivos: 1 e 2 não tem predicado, 3 é uma exclamação e 4 é uma interrogação.

 

Classificação das proposições

As proposições podem ser classificadas da seguinte forma:

1. Simples – representadas de forma única.

Exemplo:

  • 1000 x 0 = 1000

2. Compostas – formadas pelo conjunto de proposições simples.

Exemplo:

  • Maputo é a capital de Moçambique e Xai-Xai é a capital de Gaza.

 

Tabelas de verdade

Tabelas de verdade são usadas para representar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição.

Uma proposição simples P só pode ser verdadeira ou falsa e na tabela pode ser representada da seguinte forma:

 

P

V

F

 

As tabelas de verdade são feitas com auxílio de conectores lógicos que são: negação(~,¬), conjunção(^), disjunção inclusiva(v), disjunção exclusiva(v),implicação() e equivalência().

 

Consideremos as seguintes proposições:

P: Vou ao hospital.

Q: Estou doente.

Negação

A negação da P pode ser representada por ~P e com a seguinte tabela:

 

~P

F

V

Conjunção

Símbolo: ^

Leitura: e

A conjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P ^ Q) que só é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras.

Exemplo:

P ^ Q: Vou ao hospital e estou doente.

P

Q

P ^ Q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Propriedades da conjunção

Comutativa

P ^ Q = Q ^ P

 

Associativa

(A ^ B) ^ c = A ^ (B ^ c)

Disjunção inclusiva

Símbolo: v

Leitura: ou

A disjunção inclusiva de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P v Q) que só é falsa quando as duas proposições forem falsas.

Exemplo:

P v Q: Vou ao hospital ou estou doente.

P

Q

P v Q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Propriedades da disjunção

Propriedade comutativa

A v B = B v A

Propriedade associativa

(A v B) v C = A v ( B v C)

Disjunção exclusiva

Símbolo: v

Leitura: ou P ou Q

A disjunção exclusiva de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P v Q) que só é falsa quando as duas proposições tiverem mesmo valor lógico.

Exemplo:

P v Q: Ou vou ao hospital ou estou doente.

P

Q

P v Q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

 

Implicação

Símbolo:

Leitura: se P então Q

A implicação de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P Q) que só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente  falsa.

Onde:

   P = antecedente

   Q = consequente

Exemplo:

P Q: Se vou ao hospital então estou doente.

P

Q

P Q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

 

Equivalência

Símbolo:

Leitura: se e só se

A equivalência de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P Q) que só é verdadeira se ambas proposições tiverem mesmo valor lógico.

Exemplo:

P Q: Vou ao hospital se e só se estou doente.

P

Q

P Q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

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