Proposição é uma expressão (ou uma afirmação) que emite um juízo, ou seja, sobre ela é possível dizer se é verdadeira ou falsa. Uma proposição nunca é verdadeira e falsa simultaneamente.
Exemplo:
- 1000 x 0 = 1000
- Maputo é a capital de Moçambique
Nos exemplos acima pode-se emitir um juízo portanto trata-se de proposições.
Uma proposição pode ser afirmativa ou negativa.
Exemplo:
- 12 é menor que 15
- 15 não é maior que 12
Exemplos de expressões que não são proposições
- 2+4
- Maputo
- Que belo dia!
- Onde fica Maputo?
As expressões acima não são consideradas proposições pelos seguintes motivos: 1 e 2 não tem predicado, 3 é uma exclamação e 4 é uma interrogação.
Classificação das proposições
As proposições podem ser classificadas da seguinte forma:
1. Simples – representadas de forma única.
Exemplo:
- 1000 x 0 = 1000
2. Compostas – formadas pelo conjunto de proposições simples.
Exemplo:
- Maputo é a capital de Moçambique e Xai-Xai é a capital de Gaza.
Tabelas de verdade
Tabelas de verdade são usadas para representar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição.
Uma proposição simples P só pode ser verdadeira ou falsa e na tabela pode ser representada da seguinte forma:
| P |
|---|
| V |
| F |
As tabelas de verdade são feitas com auxílio de conectores lógicos que são: negação(~,¬), conjunção(^), disjunção inclusiva(v), disjunção exclusiva(v),implicação(→) e equivalência(↔).
Consideremos as seguintes proposições:
P: Vou ao hospital.
Q: Estou doente.
Negação
A negação da P pode ser representada por ~P e com a seguinte tabela:
| ~P |
|---|
| F |
| V |
Conjunção
Símbolo: ^
Leitura: e
A conjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P ^ Q) que só é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras.
Exemplo:
P ^ Q: Vou ao hospital e estou doente.
| P | Q | P ^ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Propriedades da conjunção
Comutativa
P ^ Q = Q ^ P
Associativa
(A ^ B) ^ c = A ^ (B ^ c)
Disjunção inclusiva
Símbolo: v
Leitura: ou
A disjunção inclusiva de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P v Q) que só é falsa quando as duas proposições forem falsas.
Exemplo:
P v Q: Vou ao hospital ou estou doente.
| P | Q | P v Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Propriedades da disjunção
Propriedade comutativa
A v B = B v A
Propriedade associativa
(A v B) v C = A v ( B v C)
Disjunção exclusiva
Símbolo: v
Leitura: ou P ou Q
A disjunção exclusiva de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P v Q) que só é falsa quando as duas proposições tiverem mesmo valor lógico.
Exemplo:
P v Q: Ou vou ao hospital ou estou doente.
| P | Q | P v Q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Implicação
Símbolo: →
Leitura: se P então Q
A implicação de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P → Q) que só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente falsa.
Onde:
P = antecedente
Q = consequente
Exemplo:
P → Q: Se vou ao hospital então estou doente.
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Equivalência
Símbolo: ↔
Leitura: se e só se
A equivalência de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P ↔ Q) que só é verdadeira se ambas proposições tiverem mesmo valor lógico.
Exemplo:
P ↔ Q: Vou ao hospital se e só se estou doente.
P | Q |
|
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |